Nava Rivera Oscar Eduardo
  12 de Noviembre del 2013
Examen 10: "Interferencia de campos electricos como onda "
Bibliografia: apuntes de clase

 Como se puede ver la representacion grafica de las ondas entre mas juntas esten, mas fuertes son y su representación en número aumenta.

En las primeras dos imagenes se puede distinguir E en la forma diferencial y W representado como vector.

La imagen que esta debajo de las anteriores representa la forma grafica de evaluar vectores, para este ejemplo:

Ev1=1

Ev2=1/2

Ev3=-1

Ev4=0

Ev5=-1  

E es forma = onda

  

Se puede observar la representación grafica de una interferencia entre ondas, dos ondas avanzan hasta encontrarse y formar la interferencia.

E=ydx-xdy

donde "x" y "y" son escalares 

"dx" y "dy" son ondas

(evV)(ydx-xdy)

V= a (d/dx)y + b (d/dy)x

{a(d/dx)y + b (d/dy)x} (ydx-xdy)

=a (d/dx)y (ydx)= ay(d/dx)y dx-----(d/dx)y X= (dx/dx)y=1

=-a (d/dx)y (xdy)= -ax(d/dx)y dy-----(d/dx)y Y= (dy/dx)y=0

=b (d/dx)y (ydx)= by(d/dx)y dx-----(d/dy)x X= (dx/dy)x=0

=-b (d/dy)x (xdy)= -bx(d/dy)x dy-----(d/dy)x Y= (dy/dy)x=1

diferencial---- aumenta grado

evaluación----disminuye grado

 En mi opinión el comprender las ondas es algo importante en el ambito de la materia pero tambien en el area de la carrera química por que intervienen en cosas como el espectro electromagnetico, temas que intervienen con los colores, la luz, etc.

Al igual la importancia de saber que una onda tiene cresta y la cresta es vector. Un ejemplo en la vida diaria acerca de las ondas, es el surf.

 

Nava Rivera Oscar Eduardo
 25 de Octubre del 2013
Examen 9: "Campos escalares y vectoriales"
Bibliografia: apuntes de clase

9A, 9B

En la primera imagen se puede ver la multiplicación de la energía interna * la presión, en la segunda imagen una función de "x" con "y" constante, por esto en el eje y no hay movimiento. En el eje x se muestran tres puntos, el primero de 1-4, 7-15 y 20-25.

(δ/δP)T  +  T (δ/δT)P 

Moviento en los isobaras e isotermas deacuerdo a la función.

En mi opinión la manera de interpretar las funciones es algo importante, porque es importante que no puedes derivar una función sin orientación dada.
 En los ejemplos anteriores se nota la orientación antes mencionada. Cabe mencionar que los libros de matematica  no se toma en cuenta la orientación al momento de derivar una función, y la derivada puede denotarse como vector ('), proceso, etc.

Nava Rivera Oscar Eduardo
 23 de Octubre del 2013
Examen 6: "Grassman"
Bibliografia: apuntes de clase.

6A.

 6B.

 

6C.  

grad * grad = 0
div * div = 0
div * rot =E * d * d * E- * g = E d* d = 0
rot * grad = E- * d * g * g- * d * g = E- d * d = 0

En mi opinión el poder ordenar en extensivos y extensivos B, D, J, H etc.
Gracias a esto podemos manejar estos datos con mayor eficiencia y representarlos en sus formas diferenciales y de campos vectoriales.

Nava Rivera Oscar Eduardo
 28 de Septiembre del 2013
Examen 7: "Histersis" (CORRECIÓN 2)
Bibliografia:http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/solids/hyst.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/dielectricos/dielectrico.htm

http://patricioconcha.ubb.cl/transformadores/materiales_ferromagneticos.htm 

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/f/f00-892/pres/ferroelectricidad.pdf

HISTERESIS

La histeresis es la tendencia de un material a conservar una de sus propiedades, en ausencia del estímulo que la ha generado.

Cuando se magnetiza en una dirección un material ferromagnético, no vuelve de nuevo a magnetización cero cuando cesa el campo magnético impulsor. Debe ser impulsado hacia atrás de nuevo a cero mediante un campo con dirección opuesta. Si se aplica al material un campo magnético alterno, su magnetización trazará un bucle llamado ciclo de histéresis. La falta de trazabilidad de la curva de magnetización es la propiedad llamada histéresis y se relaciona con la existencia de dominios magnéticos en el material.

7A. Ensayo sobre clasi cacion de los materiales por su compartamiento en campos electricos.

Diaeléctricos: Se denomina dieléctrico al material mal conductor de electricidad, por lo que puede ser utilizado como aislante eléctrico y además si es sometido a un campo eléctrico externo, puede establecerse en él un campo eléctrico interno, a diferencia de los materiales aislantes con los que suelen confundirse. Todos los materiales dieléctricos son aislantes pero no todos los materiales aislantes son dieléctricos.

Piezoeléctrico: Los materiales piezoeléctricos son cristales naturales o sintéticos que no poseen centro de simetría. El efecto de una compresión  consiste en disociar los centros de gravedad de las cargas positivas y de las cargas negativas. Aparecen de este modo dipolos elementales en la masa y por influencia, cargas de signo opuesto en las superficies enfrentadas.

Paraeléctricos: Propiedad de los materiales de  polarizarse cuando son sometidos a la influencia de un campo eléctrico. A diferencia de la ferroelectricidad, este fenómeno se produce incluso cuando no existen dipolos permanentes presentes en el material.

Ferroeléctrico: Son aquellos materiales que presentan una polarización neta sin tener un campo eléctrico externo aplicado, y por eso estos materiales pueden retener información digital sin fuentes externas, por lo que su aplicación más importante es en memorias móviles tipo USB.

Antiferroeléctricos: Material que tiene alineados los dipolos con el campo eléctrico, pero los sentidos de este son diferentes con respecto al campo eléctrico.

7B. Ensayo sobre clasi cacion de los materiales por su compartamiento en campos magneticos.

 Diamagneticos: Es una propiedad de los materiales que consiste en repeler los campos magnéticos. Es lo opuesto a los materiales paramagnéticos los cuales son atraídos por los campos magnéticos.

Paramagnéticos: Son los materiales cuya permeabilidad magnética es similar a la del vacío. Estos materiales  presentan en una medida despreciable el fenómeno de ferromagnetismo. En términos físicos, se dice que tiene un valor aproximadamente igual a 1 para su permeabilidad magnética relativa, cociente de la permeabilidad del material entre la permeabilidad del vacío.

Ferromagnéticos: Son los materiales que se pueden ser atraidos por un iman o un campo magnetico. Además, pueden quedar inmantados por segundos o minutos, esto depende del tiempo que estuvo el material dentro de un campo magnetico. 

Antiferromagnéticos: Es el material que presenta un ordenamiento magnético de todos los momentos magnéticos en la misma dirección pero en sentido inverso al campo magnético que lo provoca.

7C. HISTÉRESIS FERROELÉCTRICA. 

Existen materiales, en los que la variación del valor del campo eléctrico aplicado implica diferente valor de la polarización, y por tanto diferencias en el valor de la constante dieléctrica. Esto es equivalente a señalar que la polarización y la constante dieléctrica no son función lineal del campo eléctrico.

En dichos materiales, se cumple que la presencia de un dipolo, condiciona en el mismo sentido los dipolos adyacentes. La región en la que los dipolos se alinean en el mismo sentido se denomina dominio ferroeléctrico. La aplicación de un campo eléctrico externo puede variar la extensión del dominio.
En una sustancia con histéresis eléctrica, curva cerrada de la polarización que se establece al variar cíclicamente la intensidad del campo eléctrico. 

 Representación gráfica de la polarización frente al campo aplicado, da un comportamiento llamado histéresis ferroeléctrica.

7D. HISTÉRESIS FERROMAGNÉTICA.

La histéresis ferromagnética fue descubierta por Charles Proteus Ste. Inmetz  (Breslau, 1865-Schenectady, 1923. En 1892 descubrió la histéresis magnética, el fenómeno en virtud del cual los electroimanes cuyo núcleo es un material ferromagnético (como el hierro) no se magnetizan al mismo ritmo que la corriente variable que pasa por sus espiras, sino que existe un retardo. Cuando el campo magnetizante es nulo, el núcleo mantiene una densidad de flujo magnético remanente. Este fenómeno da lugar a pérdidas de energía, que se disipa en forma de calor.

En mi opinión el fenomeno de la histeresis es importante por que nos explica propiedades magneticas y eléctricas de los materiales, creo que en la carrera de química es pieza fundamental ya que se trabaja con muchos materiales, por ende se relaciona con la histeresis. 

Al igual que esto las propiedades eléctricas y magneticas de los materiales son importantes en la vida diaria, trabajo, industria, etc..

Nava Rivera Oscar Eduardo
 28 de Septiembre del 2013
Examen 8 : "Resistencia y Capacitancia"
Bibliografia: http://www.slideshare.net/kmels/memristor
http://www.unicrom.com/Tut_bobinas_serie_paralelo.asp
http://www.fisicapractica.com/capacitores-serie.php
http://www.amschool.edu.sv/paes/science/resistencias.htm
http://es.wikipedia.org/wiki/Memristor

8A. 

                                                                  auto inductancia                                inductancia externa

8B. Memristencia y memristor

¿Qué es la memristencia?, Es la propiedad de un componente eléctrico en donde:

• Si la carga fluye en una dirección, su resistencia aumenta
• Si la carga fluye en dirección opuesta, su resistencia disminuye
• Si se detiene el flujo de la carga (quitar voltaje), éste ultimo recordaré este ultimo voltaje (cuando la carga vuelva).

Memristor: El nombre es una palabra compuesta de memory resistor (resistencia-memoria). Un memristor efectivamente almacenaría información porque el nivel de su resistencia eléctrica cambia cuando es aplicada la corriente. Donde una resistencia típica proporciona un nivel estable de resistencia, un memristor puede tener un alto nivel de resistencia que puede ser interpretado en una computadora en términos de datos como un "1", y un bajo nivel que puede ser interpretado como un "0". Así, controlando la corriente, los datos pueden ser guardados y reescritos. En un sentido, un memristor es una resistencia variable que, con su resistencia, refleja su propia historia.^. 
 El memristor fue predicho y descrito en 1971 por Leon Chua, de la Universidad de California, Berkeley.

8C. Ley de Ohm

La ley de Ohm dice que la intensidad de la corriente que circula entre dos puntos de un circuito eléctrico es proporcional a la tensión eléctrica entre dichos puntos. Esta constante es la conductancia eléctrica, que es la inversa de la resistencia eléctrica.
La intensidad de corriente que circula por un circuito dado es directamente proporcional a la tensión aplicada e inversamente proporcional a la resistencia del mismo.
La ecuación matemática que describe esta relación es:

Donde, I es la corriente que pasa a través del objeto en amperios, V es la diferencia de potencial de las terminales del objeto en voltios, G es la conductancia en siemens y R es la resistencia en ohmios. Específicamente, la ley de Ohm dice que R en esta relación es constante, independientemente de la corriente.
Esta ley tiene el nombre del físico alemán Georg Ohm.
Esta ley se cumple para circuitos y tramos de circuitos pasivos que, o bien no tienen cargas inductivas ni capacitivas únicamente tiene cargas resistivas. También debe tenerse en cuenta que el valor de la resistencia de un conductor puede ser influido por la temperatura.

Una forma sencilla de recordar esta ley es formando un triángulo equilátero, donde la punta de arriba se representaría con una V (voltios), y las dos de abajo con una I (intensidad) y R (resistencia) respectivamente, al momento de cubrir imaginariamente cualquiera de estas letras, en automático las restantes nos indicarán la operación a realizar para encontrar dicha incógnita. Ejemplo: si tapamos la V, R e I estarán multiplicandose para encontrar el valor de V; de igual forma si cubrimos R, quedará V/I al descubierto para encontrar la incógnita R.

 
8D. Conexiones paralelas y en serie de los resistores, capacitores e inductores.

• Resistores

Dos resistencias están en serie si por ellas pasa exactamente la misma corriente. Resistencias en serie se suman para obtener una resistencia equivalente: R_eq = R₁ + R₂.

 

Dos resistencias están en paralelo si sobre los terminales correspondientes de éstas se establece un mismo voltaje. La resistencia equivalente de dos resistencias es el producto de éstas dividido por la suma de ambas: R_eq = (R₁× R₂)/(R₁+R₂).

• Capacitores

 Un capacitor puede ser armado acoplando otros en serie y/o en paralelo. De esta manera se obtiene una capacidad total equivalente para el conjunto de capacitores que se puede calcular mediante expresiones simples.

Capacidad en serie

La capacidad total (o equivalente) en serie se calcula sumando las inversas de cada una de las capacidades y calculando la inversa del resultado.

Capacidad en paralelo

La capacidad total (o equivalente) en paralelo se calcula sumando las capacidades de cada uno de los capacitores.

• Inductores

Inductores en serie

El cálculo del inductor o bobina equivalente (LT) de inductores en serie es similar al método de cálculo del equivalente de resistencias en serie, sólo es necesario sumarlas.



 LT = L1 + L2 + L3 +......+ LN

Inductores en paralelo

El cálculo del inductor equivalente de varias bobinas en paralelo es similar al cálculo que se hace cuando se trabaja con capacitores.

1/LT = 1/L1 + 1/L2 + 1/L3 + .... 1/LN

donde N es el número de inductores que se conectan en paralelo.
Nota: bobina = inductor.

En mi opinión este tema es importante debido a que es muy aplicado en todo tipo de industria, tanto en aparatos de uso comun como en aparatos de uso especial (empresas, fabricas, etc). Si bien no tratamos con las ecuaciones en sí, tratamos con los aparatos en las que las mismas fueron aplicadas.
Los resistores, capacitores, etc. son cosas con las que tenemos contacto a diario en diferentes ambientes trabajo, escuela, casa, etc y creo que es importante conocer un poco mas de este tema debido a eso.

Nava Rivera Oscar Eduardo
 28 de Septiembre del 2013
Examen 7: "Histersis" (CORRECIÓN)
Bibliografia:http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/solids/hyst.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/dielectricos/dielectrico.htm

http://patricioconcha.ubb.cl/transformadores/materiales_ferromagneticos.htm 

http://www.mty.itesm.mx/etie/deptos/f/f00-892/pres/ferroelectricidad.pdf

HISTERESIS

La histeresis es la tendencia de un material a conservar una de sus propiedades, en ausencia del estímulo que la ha generado.

Cuando se magnetiza en una dirección un material ferromagnético, no vuelve de nuevo a magnetización cero cuando cesa el campo magnético impulsor. Debe ser impulsado hacia atrás de nuevo a cero mediante un campo con dirección opuesta. Si se aplica al material un campo magnético alterno, su magnetización trazará un bucle llamado ciclo de histéresis. La falta de trazabilidad de la curva de magnetización es la propiedad llamada histéresis y se relaciona con la existencia de dominios magnéticos en el material.

7A. Ensayo sobre clasi cacion de los materiales por su compartamiento en campos electricos.

Diaeléctricos: Se denomina dieléctrico al material mal conductor de electricidad, por lo que puede ser utilizado como aislante eléctrico y además si es sometido a un campo eléctrico externo, puede establecerse en él un campo eléctrico interno, a diferencia de los materiales aislantes con los que suelen confundirse. Todos los materiales dieléctricos son aislantes pero no todos los materiales aislantes son dieléctricos.

Piezoeléctrico: Los materiales piezoeléctricos son cristales naturales o sintéticos que no poseen centro de simetría. El efecto de una compresión  consiste en disociar los centros de gravedad de las cargas positivas y de las cargas negativas. Aparecen de este modo dipolos elementales en la masa y por influencia, cargas de signo opuesto en las superficies enfrentadas.

Paraeléctricos: Propiedad de los materiales de  polarizarse cuando son sometidos a la influencia de un campo eléctrico. A diferencia de la ferroelectricidad, este fenómeno se produce incluso cuando no existen dipolos permanentes presentes en el material.

Ferroeléctrico: Son aquellos materiales que presentan una polarización neta sin tener un campo eléctrico externo aplicado, y por eso estos materiales pueden retener información digital sin fuentes externas, por lo que su aplicación más importante es en memorias móviles tipo USB.

Antiferroeléctricos: Material que tiene alineados los dipolos con el campo eléctrico, pero los sentidos de este son diferentes con respecto al campo eléctrico.

7B. Ensayo sobre clasi cacion de los materiales por su compartamiento en campos magneticos.

 Diamagneticos: Es una propiedad de los materiales que consiste en repeler los campos magnéticos. Es lo opuesto a los materiales paramagnéticos los cuales son atraídos por los campos magnéticos.

Paramagnéticos: Son los materiales cuya permeabilidad magnética es similar a la del vacío. Estos materiales  presentan en una medida despreciable el fenómeno de ferromagnetismo. En términos físicos, se dice que tiene un valor aproximadamente igual a 1 para su permeabilidad magnética relativa, cociente de la permeabilidad del material entre la permeabilidad del vacío.

Ferromagnéticos: Son los materiales que se pueden ser atraidos por un iman o un campo magnetico. Además, pueden quedar inmantados por segundos o minutos, esto depende del tiempo que estuvo el material dentro de un campo magnetico. 

Antiferromagnéticos: Es el material que presenta un ordenamiento magnético de todos los momentos magnéticos en la misma dirección pero en sentido inverso al campo magnético que lo provoca.

7C. HISTÉRESIS FERREOMAGNÉTICA. 

Existen materiales, en los que la variación del valor del campo eléctrico aplicado implica diferente valor de la polarización, y por tanto diferencias en el valor de la constante dieléctrica. Esto es equivalente a señalar que la polarización y la constante dieléctrica no son función lineal del campo eléctrico.

En dichos materiales, se cumple que la presencia de un dipolo, condiciona en el mismo sentido los dipolos adyacentes. La región en la que los dipolos se alinean en el mismo sentido se denomina dominio ferroeléctrico. La aplicación de un campo eléctrico externo puede variar la extensión del dominio. 

La curva de histéresis muestra la curva de magnetización de un material. Sea cual sea el material específico, la forma tiene características similares.

• Al principio, la magnetización requiere un mayor esfuerzo eléctrico. Este intervalo es la llamada zona reversible.
• En un determinado punto, la magnetización se produce de forma proporcional. En ese punto se inicia la denominada zona lineal.
• Finalmente, se llega un instante a partir del cual, por mucha fuerza magnética que induzcamos al material, ya no se magnetiza más. Este es el llamado punto de inducción de saturación, que determina el inicio de la llamada zona de saturación.

Para la grabación magnética analógica de sonido hay que tener en cuenta la curva de histéresis. La señal de audio hay que grabarla solo en la zona lineal de la cinta magnética de audio, de modo contrario, por arriba o por abajo, sufriría deformaciones.

7D. HISTÉRESIS FERROMAGNÉTICA.

La histéresis ferromagnética fue descubierta por Charles Proteus Ste. Inmetz  (Breslau, 1865-Schenectady, 1923. En 1892 descubrió la histéresis magnética, el fenómeno en virtud del cual los electroimanes cuyo núcleo es un material ferromagnético (como el hierro) no se magnetizan al mismo ritmo que la corriente variable que pasa por sus espiras, sino que existe un retardo. Cuando el campo magnetizante es nulo, el núcleo mantiene una densidad de flujo magnético remanente. Este fenómeno da lugar a pérdidas de energía, que se disipa en forma de calor.

En mi opinión el fenomeno de la histeresis es importante por que nos explica propiedades magneticas y eléctricas de los materiales, creo que en la carrera de química es pieza fundamental ya que se trabaja con muchos materiales, por ende se relaciona con la histeresis.

Nava Rivera Oscar Eduardo
 28 de Septiembre del 2013
Examen 7: "Histersis"
Bibliografia:http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbasees/solids/hyst.html

http://es.wikipedia.org/wiki/Ferromagnetismo

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/elecmagnet/dielectricos/dielectrico.htm

HISTERESIS

La histeresis es la tendencia de un material a conservar una de sus propiedades, en ausencia del estímulo que la ha generado.

Cuando se magnetiza en una dirección un material ferromagnético, no vuelve de nuevo a magnetización cero cuando cesa el campo magnético impulsor. Debe ser impulsado hacia atrás de nuevo a cero mediante un campo con dirección opuesta. Si se aplica al material un campo magnético alterno, su magnetización trazará un bucle llamado ciclo de histéresis. La falta de trazabilidad de la curva de magnetización es la propiedad llamada histéresis y se relaciona con la existencia de dominios magnéticos en el material.

7A. Ensayo sobre clasi cacion de los materiales por su compartamiento en campos electricos.

Diaeléctricos: Se denomina dieléctrico al material mal conductor de electricidad, por lo que puede ser utilizado como aislante eléctrico y además si es sometido a un campo eléctrico externo, puede establecerse en él un campo eléctrico interno, a diferencia de los materiales aislantes con los que suelen confundirse. Todos los materiales dieléctricos son aislantes pero no todos los materiales aislantes son dieléctricos.

Piezoeléctrico: Los materiales piezoeléctricos son cristales naturales o sintéticos que no poseen centro de simetría. El efecto de una compresión  consiste en disociar los centros de gravedad de las cargas positivas y de las cargas negativas. Aparecen de este modo dipolos elementales en la masa y por influencia, cargas de signo opuesto en las superficies enfrentadas.

Ferroeléctrico: Son aquellos materiales que presentan una polarización neta sin tener un campo eléctrico externo aplicado, y por eso estos materiales pueden retener información digital sin fuentes externas, por lo que su aplicación más importante es en memorias móviles tipo USB.

7B. Ensayo sobre clasi cacion de los materiales por su compartamiento en campos magneticos.

 Diamagneticos: Es una propiedad de los materiales que consiste en repeler los campos magnéticos. Es lo opuesto a los materiales paramagnéticos los cuales son atraídos por los campos magnéticos.

Paramagnéticos: Son los materiales cuya permeabilidad magnética es similar a la del vacío. Estos materiales  presentan en una medida despreciable el fenómeno de ferromagnetismo. En términos físicos, se dice que tiene un valor aproximadamente igual a 1 para su permeabilidad magnética relativa, cociente de la permeabilidad del material entre la permeabilidad del vacío.

Ferromagnéticos: Son los materiales que se pueden ser atraidos por un iman o un campo magnetico. Además, pueden quedar inmantados por segundos o minutos, esto depende del tiempo que estuvo el material dentro de un campo magnetico. 

En mi opinión el fenomeno de la histeresis es importante por que nos explica propiedades magneticas y eléctricas de los materiales, creo que en la carrera de química es pieza fundamental ya que se trabaja con muchos materiales, por ende se relaciona con la histeresis.

 

Nava Rivera Oscar Eduardo
 21de Septiembre del 2013
Examen 4: "Kirchhoff y cuatro leyes"
Bibliografia: Notas de clase

5A.Ley de Faraday.

 
                     curva
                     orientada

ley integral

 
δcurva              superf
                        cerrada

ley diferencial------solución
 dE=0                    E=dp

ley de Kirchhoff

 
 curva      curva          δcurva                     Trabajo=diferencia de potenciales.


5B. Ley de Gauss magnetico.

   
                      superf
                     orientada

ley integral
 
 δvolum          volum

 ley diferencial------solución

 dB=0                     B=dA

 ley de Kirchhoff

   
superf         superf        δsuperf

 5C. Ley de Gauss eléctrico.  

   
                                     superf
                                     (metal)
                                      orientada
ley integral

   
 δvolum       volum


ley diferencial----------solución

     
  volum      volum

ley de Kirchhoff

   

   
              volum        δvolum

5D. Ley de Oersted-Ampére-Maxwell

 
                                                 curva
                                                 orientada
                                                 de alambre

ley integral

 
δsuperf    superf

ley direfencial--------------solución

 

ley de Kirchhoff

 

   
               volum        δvolum

En mi opinión el haber definido estas cuatro leyes es fundamental por que con ellas se trabajará este curso.
El haberlas desarrollado en su forma integral, diferencial y de Kirchhoff ayudo a que las comprendieramos mejor.

Curso Fisica II

Nava Rivera Oscar Eduardo
16 de Septiembre del 2013
Examen 4: "Integral"
Bibliografia: Apuntes de clase.

4A._ Una de las leyes más importante del cálculo integral postula que "la frontera de una frontera es cero, no puede haber nada más que vacío (δ(δ)=0). Este es un postulado sencillo de entender ya que es obvio que la frontera de alguna variedad (curva, punto, superficie, volumen) no puede tener otra frontera.

Entonces se tiene la siguiente relación: 

 

 vacio
δ
puntosdim: 0
 δ
curvasdim:1
 δ
superficiedim:2
 δ
volumen dim:3
δ

 δ^{2 =0
Borde de un borde es vacio.
Borde no tiene borde.}

δpunto=vacio

δ(δcurva)=vacio

δ(δsuperficie)=vacio

En mi opinión la definición de integral como la vimos en clase fue mas clara y entendible con lo que usualmente vemos en matematicas, esto creo nos ayuda a comprender la integral en todo aspecto, y usando los valores dados para cada punto, curva, superficie y volumen.